線形代数

外積の方向メモ ( 右ねじ )

外積調べていったら右ねじの法則に躓いた。ベクトル a から ベクトル b に重ねる、で反時計回りに見えて困ったので。 右ねじ 右方向 ( 時計回り ) に回すと進むねじのこと。右に回せば穿つ。 https://hegtel.com/migi-neji.html より。 右ねじの法則:右ねじ…

線形_外積・内積メモ

外積は 3 次元で内積は 2 次元。ベクトルを別のベクトルに射影したいときに使う。 外積 ( vector product ) ベクトル a とベクトル b に直交する方向で、その長さがベクトル a とベクトル b を 2 辺とする平行四辺形の面積に等しい。 2 つのベクトルからスカ…

2D と 3D の幾何学関係メモ

下付き文字タグ付けるのめんどいので付けない。 行列は転置。T は略。 ① 空間座標と画像座標の関係 [ X Y Z ] 3D 座標 [ x y ] 2D 座標 x = X / Zy = Y / Z※ 焦点距離 1 ② ワールド座標とカメラ座標の関係 [ Xw Yw Zw ] ワールド座標 [ Xc Yc Zc ] カメラ座…

正規化座標系

焦点距離を 1 とした座標系。 以下が成り立つ。 x = X / Zy = Y / Z X, Y ,Z が 3 次元空間の点。x, y が投影した座標。 図では x, y, z が 空間の点。 こちらから。 https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjspe/81/9/81_836/_pdf http://www.rm.mce.uec.…

透視変換とホモグラフィ変換メモ

透視変換とは透視投影のこと ? ホモグラフィ変換ではなく ? と分からなくなった。 ホモグラフィ変換は、「斜めから見た絵」を「真上から見たようにする」関数ではない。( 己勘違い )ただ単に、とある平面から別平面へと射影する。 ホモグラフィ変換 ( 射影変…

ホモグラフィーの行列メモ

分からず適当に使っていたので。 ホモグラフィ:平面を射影変換を用いて別の平面に射影すること。ホモグラフィ変換 ( 射影変換 ) x1 、y1 を原画像上の座標点、x2 、y2 をホモブラフィー変換後の画像上の座標点とすると以下の関係がある。 http://ishidate.m…

正規化視座標系への変換 - a04

2D 面に 3D を描きたい の軌跡メモ 04。最後まで読んでもよく分からん。正規化座標系:焦点距離を 1 とした座標系。 ・透視投影変換では奥行きの情報が失われる。・立体を認識する為には奥行きの情報に基づく隠面・隠線処理が必要。・透視投影変換の奥行き情…

透視投影変換 - a03

2D 面に 3D を描きたい の軌跡メモ 03。 全体座標系 ( ワールド座標系 ) X, Y, Z 視座標系 ( カメラ座標系 ) x, y, z 正規化視座標系 xn, yn, zn 点と投影点の関係 点 ( x0, y0, z0 ) と投影点 ( x1, y1, z1 ) 視点 : z = 0 、投影面: z1 = d の時の透視…

同次座標 ( 斉次座標 ) とは

同次座標を導入するのは、平行移動・回転移動・投影変換などが行列で表現できるため。 同次座標系 ( homogeneous coordinates ) 。 同次座標で表すこと。同次座標表示。homogeneous:均質な、均等な。homogeneous を「同次」と訳したのは" 次元 " を増やして…

投影変換 - a02

2D 面に 3D を描きたい の軌跡メモ 02。 以下の順序で変換していくもよう。1 ) ワールド座標 ( 3D ) から視点座標系へ変換。2 ) 3 次元空間での視点座標系から スクリーン座標系 ( 2D ) へ変換。 全体座標系 ( ワールド座標系 ) X, Y, Z 視座標系 ( カメラ座…

座標系 - a01

2D 面に 3D を描きたい の軌跡メモ 01。大きさ 100 ( 縦 ) * 200 ( 横 ) * 50 ( 高さ ) の直方体をとりあえず正面から見た時のように描画したいが…。何から始めればいいのやら。 右手系 と 左手系 右手系はワールド座標系、左手系は視点座標系 ( 座標原点に…

3D を 2D に投影したい メモ一覧

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行列のスカラー倍

行列の各要素にスカラ ーをかけるだけ。 行列 A に k 倍 した行列は k A と定義できる。 行列のスカラ ー倍の性質 A 、B は n × m 行列。k 、 l 、c は実数。・k ( A + B) = k A + k B・( k + l ) A = k A + l A・c ( k A) = ( c k ) A こちらから。 …

ベクトルとは

「量」を考える時、スカラ ー量とベクトル量という考え方がある。このベクトルについて。 ベクトル 大きさ と ( 2 次元や 3 次元の空間内で ) 方向 がある量。1 個の実数で表せない。方向も指定する必要がある。 ex)速度、加速度、力、位置、変位 など。※ こ…

スカラーとは

「量」を考える時、スカラ ー量とベクトル量という考え方がある。このスカラ ーについて。 大きさのみをもつ量。単位を与えれば 1 つの実数のみで表される。 ex)体積、長さ、質量、時間、温度、仕事量、エネルギー など。 こちらから。 http://www.agr.nagoy…

行列の積 簡易ver

所詮は行列とベクトルの積? 行列 A ( a × m ) と 行列 B ( m × β ) の積は、行列 AB ( a × β ) と定義される。 行列 A と行列 B の積は、行列 A の列数と行列 B の行数が一致していなければ定義されない。つまり行列 A の列数 と 行列 B の行数 が一致して…

行列の定義 簡易ver

頭から抜けている。書籍は重いので易しそうなウェブから。 行列 数あるいは関数を長方形状に並べて括弧で囲んだもの。行の数が m、列の数が n の行列を m × n 行列という。 並んでいる数のことを要素または成分という。ex2 で (2, 3) 要素 は 3 となる。 (行…

行列の定義

結論から。『ベクトルの定義( 足し算と定数倍 )を保つ』関係 を表すための記法。素直な関係を表すための便利な記法。相乗効果や規模効果がなく単純に各要因の合計になる、という素直な関係。 ベクトルという「対象」が導入されたなら、対象間の「関係」を表…

基底の条件

↓ 前回の続き。 ベクトルの組 ( e1→, e2→,……en→ ) を基底と呼ぶのは、2 つの条件を満たすときだけ。 1 .どんなベクトル v→ でも以下の形で表せる。 (x1, …, xn は任意の数 ) どの土地にも番地が付いている。という意味。 座標で話がしたいのに表せないもの…

基底

前回、x軸、y軸などと書いたが、現実では右だ左だといった特別な方向はない。そこでx軸、y軸というものを考えないと、↓ こうなる。 目印になるのは、原点 O のみ。これでも、「矢印解釈」を行えば「足し算」も「定数倍」も遂行できる。 「足し算」と「定数倍…

ベクトルと位置との対応付け

前回、いくつかの数値をまとめて表す時の記法を書いた。 今回は、2~3つの数値がまとまっている場合は、空間での位置を表すことができる、という内容。 空間での位置 2 次元ベクトル・3 次元ベクトルは、方眼紙上にプロットできる。(3, 14)T なら、x軸:3、 …

ベクトル_記法

データを空間内の点とみなす。データ:多数な数値の組 データを空間内の点とみなして考えるうえで、 主役となる概念がベクトル と 行列。脇役が行列式。 字面ばかりに捉われず、「空間」での発想を留意する。 意味 字面 ベクトル 矢印 or 空間内の点 数字を…

線形代数とは

四則が必要なのは分かる。なければ数を扱えない。では、線形代数は? 線形代数は、空間を扱う為に必要。 人は三次元の空間に住んでいる。故に、この事柄を扱うのは空間をうまく記述できる言葉がほしい。コンピュータグラフィック、カーナビ、ゲームなどがこ…