基底の条件

↓ 前回の続き。

ベクトルの組 ( e1→, e2→,……en→ ) を基底と呼ぶのは、
2 つの条件を満たすときだけ。

 

1 .どんなベクトル v→ でも以下の形で表せる。

(x1, …, xn は任意の数 )

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どの土地にも番地が付いている。という意味。

座標で話がしたいのに表せないものがあれば困る。

 

2 .その表し方は 1 通りだけ。

1 つの土地に番地は 1 だけ。

異なる座標 x = (x1, ……, xn) T , y = (y1, ……, yn) T を見せられた時、
実体 x→ , y→ が違うものなのか、同じものなのに 2 通りの
書き方がなされているだけなのか悩む。

 

2. の掘り下げ ( p18 )

・番地が異なるなら違う土地

(x1, ……, xn) T = (x'1, ……, x'n) T
なら
x1 e1→ + … + xn en→ = x'1 e1→ + … + x'n en

 

・同じ土地なら番地も同じ
x1 e1→ + … + xn en→ ≠ x'1 e1→ + … + x'n en
なら
(x1, ……, xn) T≠ (x'1, ……, x'n) T 

 

これをスマートに表現すると以下

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x1 e1→ + … + xn en→ = x'1 e1→ + … + x'n en
において、 右辺を移項してまとめれば、0→ となる。
u1 = x1 - x'1、u2 = x2 - x'2 というように置き換えれば同じ

 

線形結合

e1→, …, en→ に対して、何か u1, …, un を持っているベクトル

f:id:koshinRan:20170621222024j:plain を

e1→, …, en 線形結合とよぶ。
一次結合とも呼ぶ。数 u1, …, un は線形結合の係数と呼ぶ。

 

 結論

( e1→, …, en→ ) を基底と呼ぶのは、

e1→, …, en→ の線形結合で任意のベクトル x→ が表せ、
しかもその表し方が唯一である時。

 

…以上。

--Memo--
次元 = 基底ベクトルの本数 = 座標の成分数